Текстовые задачи на составление уравнений

Текстовые задачи на составление уравнений

Данная тема разработана учителем математики высшей категории Цуркан Жанной Никифоровной.

Методическая разработка темы содержит следующие разделы:

Введение

Текстовые задачи являются традиционным разделом на вступительных экзаменах. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи на вступительных экзаменах, достаточно типичны.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных.

2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи.

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на движение

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное растояние, V- cкорость равномерного движения, t - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон обьектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения:

1.Обьекты, начавшие двигаться навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время .

2.Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное этой задачи.

3.При движении в одну сторону ( v₁> v₂) время через которое первый объект догонит второй, равно где S- начальное расстояние между объектами.

4.При движении по течению реки скорость объекта складывается из его скорости в стоячей воде и скорости течения реки. При движении против течения реки, скорость объекта равна разности скорости объекта в стоячей воде и скорости течения реки.

5.Движущийся плот всегда имеет скорость течения реки.

Задача 1. Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге и с какой по шоссе?

Решение:

Пусть x км/ч скорость велосипедиста на лесной дороге. Тогда его скорость на шоссе будет (x+4) км/ч. За 2 часа по лесной дороге велосипедист проехал 2·x км. , а за час по шоссе (x+4) км. Весь путь по условию равен 40км. Составляем уравнение:

2x+(x+4) = 40;

2x+x = 40 - 4;

3x = 36;

x = 36:3;

x=12.

Значит скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч ; 16 км/ч.

Задача 2. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:

Пусть x км/ч скорость течения реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x) км/ч. В пути была 45 минут.

часа.

Путь против течения равен Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скоростью x км/ч 3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны:

Ответ: 2 км/ч.

Задача 3. Из двух городов, расстояние между которыми 200 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через 2 часа. Скорость легкового автомобиля 60 км/ч. Найти скорость грузовика.

Решение:

Пусть скорость грузовика равна x км/ч. Поскольку машины выехали одновременно навстречу друг другу, то скорость сближения (сумма скоростей) равна (x+60) км/ч. Каждый из них до встречи находится в пути 2 часа.

Поэтому:

2(x+60) = 200

x+60 = 100

x = 100-60

x = 40

Скорость грузовика 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Задача 4. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 94км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста. Найти скорость каждого, если известно, что встретились они через 4ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть скорость пешехода равна х км/час, тогда скорость велосипедиста (х+16) км/ч. Отправляются навстречу друг другу одновременно. Встречаются через 4 часа. Пешеход делал в пути получасовую остановку. Значит шел до встречи 4-0,5=3,5 часа, велосипедист до встречи ехал 4 час.

Итак, путь пешехода 3,5х км, а путь велосипедиста 4(х+16) км. Сумма по условию 94. Составляем уравнение:

4(x+16)+3,5x=94;

4x+64+3,5x=94;

7,5x=30;

x=30:7,5;

x=300:75

x=4.

Скорость пешехода 4км/ч, велосипедиста 16+4=20км/час

Ответ: 4км/ч; 20км/ч.

Задачи на совместную работу

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы имеется полная аналогия.

Представим это так:

Вся работа – А; Время работы – t; Производительность

При совместной работе нескольких объектов, выполняющих одновременно работу, их общая производительность равна сумме производительностей отдельных объектов.

Во многих задачах на работу точный характер этой работы не определен, тогда удобно принять объем всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

Задача 1. Заказ по выпуску машин завод должен выполнить за 20 дней, но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал на 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?

1способ

Пусть х машин выпустил завод.

	А (шт.)	N (шт. в день)	t (дни)
По плану	x-6		20
Фактически	х	(на 3 шт больше, чем по плану)	18

Тогда

х+54=3·180; х+54=540; х=540-54; х=486

Ответ: 486 штук.

2 способ

Пусть х – количество машин в день по плану.

	А (шт.)	N(шт. в день)	t(дни)
По плану	20х	х	20
Фактически	18(х+3) (на 6 больше чем по плану)	х+3	18

Тогда

18∙(x+3) – 20x = 6;

18x + 54 – 20x=6;

-2x=-54+6;

-2x = -48;

x=24;

18∙(24+3)=18∙27=486.

Ответ: 486 штук.

Задача 2. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. Если ервая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней, то они выполнят всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?

Решение:

Примем весь объем работы за 1. Тогда две бригады, работая вместе за один день выполнят часть работы. Это их общая производительность.

Пусть производительность первой бригады равна х, тогда второй . (Это часть работы, выполненная за 1 день).

За три дня, работая отдельно первая бригада сделает 3х часть работы, а вторая за 12 дней: . Обе бригады при этом выполнят от 1.

Составляем уравнение:

Так как А=p·t, то p– производительность.

Время работы первой бригады: отдельно.

Вторая бригада, работая сама, потратит время:

производительность второй бригады.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Задачи на проценты

Процентом называется сотая часть числа. Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01 этого числа; 35% составляют 0,35 числа. Чтобы найти а% от числа b, нужно b умножить на .

Если известно, что а% числа x равно b, то число x можно найти по формуле Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. вычислить .

Задача 1. При выполнении работы по математике 12% учеников совсем не решили задачу, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учащихся в классе.

Решение.

Пусть в классе х учеников. 14 человек составляет 100% - (12% + 32%) = 56%.

Вычислить х: .

Ответ: 25 уч.

Задача 2. Девочка сначала прочитала 45 страница, а потом еще несколько страниц, что составило 60% от прочитанного в первый раз. Сколько страниц в книге, если прочитано книги?

Решение.

Не все задачи обязательно решать, составляя уравнение. Во второй раз девочка прочитала 60% от 45 страниц. Это 0,6 ∙ 45 = 27(стр.) За оба раза девочка прочитала 45+27=72(стр.) По условию это книги.

Значит нужно найти число, по его части

Ответ: 84 страницы.

Смешанные задачи

Довольно часто приходится решать задачи на зависимость между величинами, понятие «на» больше (меньше), «в» больше (больше).

Задача 1. За три дня продали 15т. Картофеля. В первый день продали на 1т. меньше, чем во второй день, а в третий того, что в первый и второй день вместе.

Сколько тонн картофеля продали в каждый день из трех дней?

Комментарий к решению: В задачах такого рода желательно сделать краткую запись условия, тем самым более внимательно изучить условие задачи, зависимости между величинами.

Решение:

Пусть во второй день продали x_m картофеля, а в первый день (х-1) (т). За первые два дня вместе продано х+(х-1) = 2х-1 (т.) картофеля.

В третий день продали от (2х-1) , т.е.

За три дня продано 15т картофеля, составляем уравнение:

Ответ: 4; 5; 6 т.

Задача 2. Комплект из открытки, конверта и блокнота стоит 50 рублей. Конверт на 25 рублей дешевле блокнота и в 3 раза дешевле открытки. Сколько стоят конверт, открытка, блокнот?

Решение:

Пусть блокнот стоит х рублей. Стоимость конверта на 25 рублей меньше, он стоит (x - 25) рублей. Но эта цена в 3 раза меньше цены открытки, значит открытка стоит в 3 раза больше конверта, то есть 3(x-25) рублей.
Стоимость комплекта 50 рублей. Составляем уравнение:

3(x-25)+(x-25)+x=50;

4(x-25) + x=50;

4x-100+x=50;

5x=100+50;

5x=150;

x=30.

x-25=30-25=5;

3(x-25)=15.

Ответ: 15 рублей, 5 рублей, 30 рублей.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В двух корзинах 90 яблок. Когда из первой корзины взяли находящихся в ней яблок и переложили во вторую, то количество яблок в корзинах стало равное. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Задача 2. Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину увеличить на 2 см, то площадь его увеличится на 78см². Найти периметр прямоугольника.

Задача 3. За первую поездку на автомобиле израсходовали 25% бензина, имевшегося в баке, затем во второую поездку израсходовали 20% остатка. После этого в баке осталось бензина на 2 л больше, чем было израсходовано за две поездки. Сколько литров бензина было в баке первоначально?

Задача 4. В столовую привезли картофель, упакованный в пакеты по 3 кг. Если бы он был упакован в пакеты по 5 кг. То понадобилось бы на 8 пакетов меньше. Сколько килограммов картофеля привезли в столовую?

Задача 5. В две бригады вместе должны изготовить 270 изделий. К середине дня первая бригада выполнила 60% своего задания, а вторая – 70% своего. При этом первая бригада изготовила на 6 изделий больше, чем вторая. Сколько изделий должна изготовить каждая бригада?

Новости: